“志之所趋，穷山距海，不可阻挡。”
前言
我好像找到了一种能正常现实图片的方法…虽然还是比较麻烦…不过我的 Microsoft Edge 不会图裂了，感动
其实还是上传的 GitHub，用开发人员工具扣出图片的 utl，在前面加上”https://github.com/….”
不过要注意，在这里图片的名称要英文，不要特殊字符
这份总结主要是因为离散的集合那一块，概念太多太多，又容易混在一起。
之前小测的时候我连符号都不知道是什么意思….
估计之后学图的时候还得总结一份 QAQ
集合及关系
关系的运算
- AxB：笛卡尔乘积。A 中的元素作为第一元素，B 中的元素作为第二元素，构成所有的序偶构成的集合作为结果。
- domR：R 的定义域。R 中所有序偶第一元素构成的集合
- ranR：R 的值域。R 中所有序偶第二元素构成的集合
- fldR：R 的域。domR 与 ranR 的并集
- R^-1：R 的逆关系/R 的逆。每个序偶第一元素和第二元素交换
- F⚪G：G 对 F 的右合成。第一元素 x 来自 F，第二元素 y 来自 G，如果 F 中存在<x，t>，G 中存在<t，y>，则结果为所有<x，y>组成的集合。（F 到 G 的传递）
- IA：基于 A 的恒等关系。即所有元素既作为第一元素也作为第二元素<x，x>所组成的集合
关系的性质
- 自反：对于 A 中每个元素 x，R 中都有<x，x>
如果有一个元素不存在，就不满足自反 - 反自反：对于 A 中每个元素 x，R 中都没有<x，x>
如果有一个元素存在，则不满足反自反
综上，如果 A 中有元素存在，但并不是所有元素都存在，则既不是自反，也不是反自反 - 对称：对 R 中所有的<x，y>，同时也存在<y，x>
- 反对称：对 R 中所有的<x，y>，要么不存在<y，x>，若存在，则 x=y
综上，如果存在<x，y>,<y，x>，但并不是所有元素都存在，则既不是对称也不是反对称 - 可传递：对 R 中所有的<x，y>，如果存在<y，z>，那么就有<x，z>
- 不可传递：R 中存在<x，y>，也存在<y，z>，但是没有<x，z>
综上，如果关系 R 不是可传递的，那就是不可传递的。当且仅当所有的<x，y>、<y，z>都有<x，z>，才是可传递的。即不存在和不全存在都为不可传递。
关系的闭包运算
- r(R)：自反闭包。R 本身并上恒等关系 IA。构造基于 R 的最小的自反关系。
- s(R)：对称闭包。R 本身并上 R 逆。构造基于 R 的最小的对称关系。
- t(R)：传递闭包。公式上等于 R^1 并上 R^2 并上 R^3….直到趋于无穷。通常会陷入循环或一开始就等于本身。若陷入循环则结果为第一段循环。
可用 wallshall 算法来求得
特殊关系
- 覆盖：若集合 A 由若干集合构成，且 A 中的集合都是 S 集合的子集，且所有集合的并集结果为 S，称 A 是 S 的覆盖。
- 划分：当 S 的覆盖 A 中任意两个的子集的交集都为空，则称 A 为 S 的划分。
综上，覆盖和划分都不唯一。覆盖会存在交集，而划分是正好的，不存在交集。 - 等价关系：关系 R 同时满足自反、对称、可传递 这里引入模 k 关系：a，b 两个数满足 a-b=mk，则 ab 满足模 k 关系，其中 m 为任意整数，k 是我们提前设的。模 k 关系为等价关系
- 等价类：等价关系下一个划分组成的集合
- 商集：所有等价类作为元素的集合
不难看出，商集中的集合（所有等价类）构成了此关系的划分。等价关系->等价类->商集->划分。
- 相容关系：关系 R 同时满足自反、对称
- 最大相容类：满足相容的集合有一个子集，这个子集中的任何一个元素与子集其他所有元素能构成相容关系，但是和这个子集外的任何元素没有相容关系，则这个子集称为最大相容类
判断相容类或者最大相容类的时候，通过关系图能很好进行判断
两两相连的就是相容类，再加一个元素就不满足两两相连的相容类就是最大相容类
次序关系
- 偏序关系：R 是自反的、反对称的、可传递的，称 R 是 A 中的偏序关系。用 ≤ 表示偏序关系
- 拟序关系：R 是反自反的、可传递的，称 R 是 A 中的拟序关系。用＜表示拟序关系
- 全序关系：R 是偏序关系，对于 A 中每一个 x，y，都有 x 小于等于 y 或 y 小于等于 x。即满足线性关系（一条线），哈斯图中一层只有一个元素
哈斯图
表达偏序关系的利器
- 最小元：在给定集合中选，可以不存在，存在则唯一。一定和给定集合所有元素满足偏序，即给定集合任意元素向下能达到最小元。
- 最大元：在给定集合中选，可以不存在，存在则唯一。一定和给定集合所有元素满足偏序，即给定集合任意元素向上能达到最大元。
- 极小元：在给定集合中选，一定存在，可以多个。哈斯图中给定集合的最底层。
- 极大元：在给定集合中选，一定存在，可以多个。哈斯图中给定集合的最高层。
- 上界：在整个集合中选，可以不存在，可以存在很多。一定和给定集合所有元素满足偏序，即给定集合任意元素向上能达到上界。
- 下界：在整个集合中选，可以不存在，可以存在很多。一定和给定集合所有元素满足偏序，即给定集合任意元素向下能达到下界。
- 上确界（最小上界）：在整个集合中选，可以不存在，存在则唯一。上届中最小的元素，即哈斯图中上界的最底层。若最底层不唯一则不存在。
- 下确界（最大下界）：在整个集合中选，可以不存在，存在则唯一。下届中最大的元素，即哈斯图中下界的最高层。若最高层不唯一则不存在。
